A24.005

Нормальное распределение N(μ, σ^2), соответствующее значениям μ = 0 и σ = 1, обозначается N(0, 1) и называется стандартным нормальным распределением. В этом случае формулы (1) и (2) существенно упрощаются:
f(x) = 1/√(2π) * e^(-x^2/2); (3)
F(x) = 1/√(2π) * ∫[t = от -∞ до x]e^(-t^2/2)dt. (4)

Нормальное распределение N(μ, σ^2) случайной величины x имеет плотность вероятности:
f(x) = 1/(σ√(2π)) * e^[-(x — μ)^2/(2σ^2)], (1)
и функцию распределения:
F(x) = 1/(σ√(2π)) * ∫[t = от -∞ до x]e^[-(t — μ)^2/(2σ^2)]dt, (2) где
μ — математическое ожидание;
σ — среднеквадратическое отклонение.

Вероятность попадания случайной величины x с нормальным распределением на заданный интервал (x1, x2) определяется формулой:
P(x1 < x < x2) = Φ((x2 — μ)/σ) — Φ((x1 — μ)/σ), (5)
а для стандартного нормального распределения N(0, 1), т. е. μ = 0 и σ = 1:
P(x1 < x < x2) = Φ(x2) — Φ(x1), (6)
где Φ(x) — функция Лапласа:
Φ(x) = 1/√(2π) * ∫[t = от 0 до x]e^(-t^2/2)dt (7).

Функция Лапласа табулирована. Отметим, что из самого уравнения (7) следует, что эта функция обладает следующими свойствиями:
Φ(-x) = -Φ(-x);
Φ(0) = 0;
Φ(-∞) = -0,5;
Φ(∞) = 0,5.

2. Функция ξ(t) = Xt^2 + Yt монотонно не убывает на промежутке t ∈ (0; ∞), если ее производная неотрицательна на этом промежутке:
ξ(t) = Xt^2 + Yt;
ξ'(t) = 2Xt + Y ≥ 0. (8)

Неравенство (8) должно выполняться для любого t ∈ (0; ∞), т. е. график функции ξ'(t) = 2Xt + Y (прямая) при t > 0 должен целиком лежать в первой четверти. Очевидно, это возможно лишь при неотрицательных значениях углового коэффициента и свободного члена:
{2X ≥ 0;
{Y ≥ 0,
отсюда:
{X ≥ 0; (9)
{Y ≥ 0. (10)

Таким образом, функция ξ(t) = Xt^2 + Yt монотонно не убывает на промежутке t ∈ (0; ∞), если выполняется каждое из условий (9) и (10).

Пусть теперь события A и B заключаются в том, что случайные величины X и Y неотрицательны, соответсвенно. Тогда:
P(A) = P(X ≥ 0) = Φ(∞) — Φ(0) = 0,5 — 0 = 0,5;
P(B) = P(Y ≥ 0) = Φ(∞) — Φ(0) = 0,5 — 0 = 0,5.

Поскольку оба условия (9) и (10) должны выполняться одновременно, то получим произведение двух событий A и B.
Вероятность же произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
P(AB) = P(A) * P(B) = 0,5 * 0,5 = 0,25.

Ответ: 0,25.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.