A24.006

Построить четырехугольник, стороны которого 1см, 2см, 3см и 4см, а диагональ, проходящая между первой и четвертой сторонами, равна 2,6 см.

Дано:

AB = 1 см; BC = 2 см; CD = 3 см; DE = 4 см, AC = 2,6 см.

Построить четырехугольник ABCD. Анализ. Предположим, что четырехугольник ABCD уже построен:

рис. 1

В треугольниках ABC и ADC все стороны известны, поэтому задача сводится к пострению двух треугольников по трем сторонам.

Построение.

1) Построим треугольник ABC по трем сторонам. Для этого построим отрезок AC длиной 2,6 см. Проведем дуги окружностей с центрами в точках A и C и радиуса 1 см и 2 см соответственно. Точкой их пересечения будет вершина B треугольника ABC.

2) Аналогичным образом построим треугольник ADC. Тем самым и получим искомый четырехугольник ABCD.

рис. 2

Доказательство очевидно, поскольку выполнены все условия: у четырехугольника ABCD все стороны имеют заданные значения, а диагональ AC равна 2,6 и проходит между сторонами AB и AD .

Исследование.

1) По трем сторонам можно построить единственный треугольник, если выполняется неравенство треугольников, т. е. большая сторона треугольника меньше суммы меньших сторон. Для обоих треугольников это условие выполняется:

2,6 < 1 + 2;

4 < 2,6 + 3.

2) Поскольку в условии задачи сказано, что диагональ AC проходит между сторонами AB и AD, то треугольники ABC и ADC лежат по разные стороны прямой AC, поэтому задача имеет единственное решение. В противном случае можно было бы построить еще один (вогнутый) четырехугольник.

2(11). Построить четырехугольник, равный данному. Какое наименьшее число элементов надо считать данными.

Для однозначного определения четырехугольника нужно не меньше пяти элементов. Предположим, в четырехугольнике ABCD заданы стороны AB, CD, AD и диагонали AC и BD:

AD = a; AB = b; CD = c; AC = d, BD = e.

Построим четырехугольник PQRS, равный ABCD.

Анализ. Предположим, чеырехугольник ABCD уже построен.

В треугольниках ABD и ACD известны все стороны, поэтому задача сводится к пострению двух треугольников по трем сторонам.

Построение.

1) Построим треугольник PQS, равный треугольнику ABD, по трем сторонам. Для этого:

а) проведем прямую и отложим на ней отрезок PS = a.

б) проведем дугу окружности с центром в точке P и радиуса b;

в) проведем дугу окружности с центром в точке S и радиуса e;

г) точка их пересечения будет вершиной Q треугольника PQS.

2) Аналогичным образом можем построить треугольник PRS, равный треугольнику ACD.

3) Соединим точки Q и R отрезком QR. Получим искомый четырехугольник PQRS, равный исходному четырехугольнику ABCD.

Доказательство. Докажем, что PQRS = ABCD:

1) △PQS = △ABD по трем сторонам ⇒ ∠QPS = ∠BAD, ∠QSP = ∠BDA;

2) △PRS = △ACD по трем сторонам ⇒ ∠RPS = ∠CAD, ∠RSP = ∠CDA;

3) ∠QPR = ∠QPS — ∠RPS = ∠BAD — ∠CAD = ∠BCA;

4) △QPR = △BAC по двум сторонам и углу между ними ⇒ QR = BC;

5) PQRS = ABCD – так как все стороны и диагонали равны соответственно.

Исследование.

По трем сторонам можно построить единственный треугольник. Следовательно, при построении однозначны опреляются треугольники PQS и PRS, стало быть, и четырехугольник PQRS.

1(5). Построить треугольник по двум сторонам и высоте, проведенной к одной из них.

Дано:

AC = b; AB = c; BH ⊥ AC; BH = h.

Построить треугольник ABC.

Анализ. Предположим, треугольник ABC уже построен.

В прямоугольном треугольнике ABH известны катет BH и гипотенуза AB. Построив его по этим параметрам, а затем – отрезок AC, получим искомый треугольник ABC.

Построение.

1) Проведем прямую p и отложим на ней отрезки HB = HD = h (рис. 2).

2) Через точку H проведем прямую q, перпендикулярную прямой p. Для этого проведем окружности с центрами в точках B и D и радиусом c. Через точку их персечения A и точку H проведем прямую q (рис. 3).

3) Соединив точки A и B, получим прямоугольный треугольник ABH с заданной гипотенузой c и катетом h (рис. 4).

4) На прямой q отложим отрезок AC = b. Соединив точки B и C, получим треугольник ABC.

Доказательство. В построенном треугольнике ABC стороны AB и AC равны c и b соответственно, а высота BH = h. Следовательно, ABC – искомый треугольник.

Исследование. Задача имеет единственное решение. Действительно, по катету и гипотенузе  можно построить единственный треугольник. Следовательно, при построении однозначно определен прямоугольный треугольник ABH, а значит и треугольник ABС.

4(11). Построить трапецию по одному из оснований, высоте и двум диагоналям.

Дано:

AD = a; BD = b; AC = c; CH ⊥ AD; CH = h.

Построить трапецию ABCD.

Анализ. Предположим, трапеция ABCD уже построена.

Диагональ AC делит трапецию на два треугольника ACD и ACB, в первом из которых известны две стороны и высота, проведенная к одной из них. То же самое можно сказать относительно треугольника ABD. Основания трапеции AD и BC параллельны и находятся на расстоянии h друг от друга. Поэтому задача сводится к построению треугольников ABD и ACD, вершины C и B которых лежат на прямой BC.

Построение.

1) Проведем прямую p и отложим на ней отрезок MN = h. Через точки M и N проведем прямые q и r, перпендикулярные прямой p (рис. 2).

2) Отложим на прямой q отрезок A’D’ = a.

3) Построим треугольник A’D’B’, вершина B’ которого лежит на прямой r и находится на расстоянии b от точки D’. Таких треугольников может быть два: A’D’B1′ и A’D’B2′.

4) Построим треугольник A’D’C’, вершина C’ которого лежит на прямой r и находится на расстоянии c от точки A’. Таких треугольников также может быть два: A’D’C1′ и A’D’C2′.

5) Поскольку диагонали трапеции должны пересекаться, то точка B’ должна быть левее точки C’. Выполнение этого условия зависит от длин заданных отрезков.

Доказательство. Докажем, что построенный таким образом четырехугольник  A’B’C’D’ удовлетворяет всем условиям задачи:

1) A’D’ || B’C’ ⇒ A’B’C’D’ – трапеция;

2) A’D’ = a;

3) A’C’ = c;

4) B’D’ = b;

5) Высота равна h.

Исследование.

1) Поскольку диагональ трапеции больше ее высоты, то задача имеет решение, если b ≥ h и c ≥ h. При равенстве (в одном из них) получим прямоугольную трапецию.

2) Количество же решений (от 0 до 2) зависит от того, какое взаимное расположение имеют точки B’ и C’, что однозначно определяется конкретными значениями отрезков a, b, с и h.

4(11). Построить прямоугольник по диагонали и углу между диагоналями.

Дано:

AС = a; ∠AOB = α;

Построить прямоугольник ABCD.

Анализ. Предположим, что прямоугольник ABCD уже построен.

Диагонали прямоугольника равны и делятся пополам точкой пересечения. Следовательно, задача сводится к разделению диагонали на две равны части, построение угла AOB и диагонали BD.

Построение.

1) Построим отрезок A’C’ = a, проведем серединный перпендикуляр и найдем его середину O’ (рис. 2).

2) Проведем окружности радиуса A’O’ и с центрами в точке O’ и в вершине заданного угла α.

3) Отложим на окружности дугу A’B’, равную дуге PQ (равными будут также соответствующие отрезки) и проведем диаметр B’D’ (рис. 3).

4) Соединим вершины A’, B’, C’, D’ и получим прямоугольник A’B’C’D’ (рис. 4).

Доказательство. Докажем, что построенный таким образом четырехугольник  A’B’C’D’ удовлетворяет всем условиям задачи:

1) A’O’ = B’O’ = C’O’ = D’O’ = a/2 – как радиусы окружности;

2) четырехугольник A’B’C’D’ – прямоугольник, т. к. диагонали равны и делятся пополам точкой пересечения;

3) △B’O’С’ = △BOC по трем сторонам ⇒ ∠B’O’C’ = α. Исследование. Задача имеет единственное решение, поскольку по диагонали и углу между дигоналями одназначно определяются стороны прямоугольника, а значит и сам прямоугольник.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.