A24.091

Известны две диагонали трапеции, угол между ними и меньшее основание.

1. Проведите анализ, 2. исследование, 3. найдите большее основание, 4. постройте трапецию.

1. Анализ. Предположим, трапеция ABCD уже построена:

AC = d1, BD = d2 – диагонали,

∠BOC = α – угол между ними,

BC = a – меньшее основание.

Через точку C проведем прямую, параллельную прямой BD.

а) В четырехугольнике BСED противолежащие стороны параллельны, следовательно, он – параллелограм, отсюда:

CE = BD = d2;

DE = BC = a.

б) ∠ACE = ∠BOC =α – как внутренние накрест лежащие при паралелльных прямых BD и CE.

Таким образом, построение трапеции ABCD сводится к построению треугольника ACE по двум сторонам и углу между ними.

2. Исследование. Поскольку треугольник одназначно определяется по двум сторонам и углу между ними, то по заданным параметрам можно построить единственный треугольник ACE и единственную трапецию ABCD, следовательно, задача имеет единственное решение.

3. Большее основание. По теореме косинусов, применительно к треугольнику ACE, имеем:

AE = √(AC^2 + CE^2 — 2AC * CE * cosα) = √(d1^2 + d2^2 — 2d1d2cosα)

b = AD = AE — ED = √(d1^2 + d2^2 — 2d1d2cosα) — a

4. Построение.

а) Построим угол С = α;

б) На сторонах угла C отложим отрезки CA = d1 и CE = d2 и построим треугольник ACE;

в) На стороне EA отложим отрезок ED = a;

г) Через точки D и C проведем прямые, паралльные EC и ED соответственно, и найдем точку B их пересечения. Получим искомую трапецию ABCD.

Доказательство.

а) AD || BC ⇒ ABCD – трапеция;

б) Диагональ AC = d1;

в) BD = CE = d2, BC = DE = a  – как противолежащие стороны паралеллограма BCED;

г) ∠BOC = ∠ACE = α – как внутренние накрест лежащие при паралелльных прямых BD и CE.

Все условия задачи выполнены, следовательно, ABCD – искомая трапеция.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.