AD.0015
Решите уравнение:
4^(1/x) + 6^(1/x) — 9^(1/x) = 0.
1. Разделим обе части уравнения на 9^(1/x):
4^(1/x) + 6^(1/x) — 9^(1/x) = 0;
(4/9)^(1/x) + (6/9)^(1/x) — 1 = 0;
((2/3)^(1/x))^2 + (2/3)^(1/x) — 1 = 0.
2. Обозначим:
y = (2/3)^(1/x) и решим уравнение:
y^2 + y — 1 = 0;
D = 1 + 4 = 5;
y = (-1 ± √5)/2.
3a. y = (-1 — √5)/2;
(2/3)^(1/x) = (-1 — √5)/2 < 0, не имеет решения.
3b. y = (-1 + √5)/2 ;
(2/3)^(1/x) = (-1 + √5)/2 ;
(1/x) * ln(2/3) = ln (-1 + √5) — ln2 ;
1/x = ( ln (√5 — 1) — ln2 ) / ln(2/3);
x = (ln2 — ln3) / ( ln (√5 — 1) — ln2 ).
Ответ: (ln2 — ln3) / ( ln (√5 — 1) — ln2 ).