• AD.0016

    Запишите уравнение окружности касающейся осей координат и проходящей через точку (8;-4)    1. Как видно из рисунка, окружность с центром в точке O1(4; -4) и радиусом R = 4 касается осей координат в точках (4; 0) и (0; -4) и проходит через точку (8;-4).    2. Поскольку уравнением окружности c радиусом r и центром в точке (x0; y0) является:       (х — х0)² + (y — y0)² = r²,    то для проведенной окружности получим следующее уравнение:       (х — 4)² + (y + 4)² = 16.    3. Общее решение. Найдем радиус окружности:       O(r; -r) и (8; -4);       (r — 8)² + (-r…

  • AD.0015

       Решите уравнение:       4^(1/x) + 6^(1/x) — 9^(1/x) = 0.    1. Разделим обе части уравнения на 9^(1/x):       4^(1/x) + 6^(1/x) — 9^(1/x) = 0;       (4/9)^(1/x) + (6/9)^(1/x) — 1 = 0;       ((2/3)^(1/x))^2 + (2/3)^(1/x) — 1 = 0.    2. Обозначим:       y = (2/3)^(1/x) и решим уравнение:       y^2 + y — 1 = 0;       D = 1 + 4 = 5;       y = (-1 ± √5)/2.    3a. y = (-1 — √5)/2;       (2/3)^(1/x) = (-1 — √5)/2 < 0, не имеет решения.    3b. y = (-1 + √5)/2 ;…

  • AD.0014

       Доказать тождество:       2(sin6x + cos6x) — 2(sin4x + cos4x) + 0,5sin2(2x + 3п/2) = 0,5cos(4x).    Обозначим левую часть тождества через Z и преобразуем выражение:       Z = 2(sin6x + cos6x) — 2(sin4x + cos4x) + 0,5sin2(2x + 3п/2);       Z = 2(sin2x + cos2x)(sin4x — sin2x * cos2x + cos4x) — 2(sin4x + cos4x) + 0,5cos2(2x);       Z = 2(sin4x + cos4x) — 2sin2x * cos2x — 2(sin4x + cos4x) + 0,5cos2(2x);       Z = — 0,5(2sinx * cosx)2 + 0,5cos2(2x);       Z = — 0,5sin2(2x) + 0,5cos2(2x);       Z = 0,5(cos2(2x) — sin2(2x));       Z = 0,5cos(4x).  …

  • AD.0013

    Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если переставить цифры этого числа, то полученное двузначное число будет на 36 больше исходного. Найдите это число. AB — двузначное число.    1. Решим систему из двух уравнений для цифр двузначного числа:       {A + B = 12       {10B + A = 10A + B + 36       {A + B = 12       {10B + A — 10A — B = 36       {A + B = 12       {9B — 9A = 36       {A + B = 12       {9(B — A) = 36       {A + B = 12  …

  • AD.0012

       Вычислите значение выражения:       16 * cos(2x) * cos(4x) * cos(8x), если x = π/6.    Обозначим:       Z = 16 * cos(2x) * cos(4x) * cos(8x). Подставим значение x и преобразуем выражение:       Z = 16 * cos(2 * π/6) * cos(4 * π/6) * cos(8 * π/6);       Z = 16 * cos(π/3) * cos(2π/3) * cos(4π/3);       Z = 16 * cos(π/3) * cos(π — π/3) * cos(π + π/3).    Воспользуемся формулой приведения для косинуса:       cos(π ± α) = — cosα;       Z = 16 * cos(π/3) * (- cos(π/3)) * (- cos(π/3));       Z =…

  • AD.0011

       Решите неравенство:       (y — 4)² * (y — 6) * (1 — y) > 0.    1. Определим корни соответствующего уравнения:       [y — 4 = 0       [y — 6 = 0       [1 — y = 0       [y = 4       [y = 6       [y = 1       y = ∈ {1; 4; 6}.    2. Поскольку неравенство строгое, то корни уравнения не являются корнями неравенства. Разделим множество действительных чисел (кроме найденных корней), на промежутки:       (-∞; 1) U (1; 4) U (4; 6) U (6; ∞).    В точке y = 4 степень четная,…

  • AD.0010

    В трёхзначном числе зачеркнули первую цифру и получили двузначное. Если на это двузначное число поделить исходное, то частное будет равно 9, а остаток 8. Найди исходное число. 1. Обозначим исходное трехзначное число через x: x = abc, где a, b и c — цифры числа x: x = 100a + 10b + c. 2. Зачеркнув первую цифру, получим двузначное число y: y = bc = 10b + c. 3. Составим и решим уравнение согласно условию задачи: x = 9 * y + 8; 100a + 10b + c = 9 * (10b + c) + 8; 100a + 10b + c = 90b + 9c + 8; 100a = 80b…

  • AD.0009

    Предложите способ определения расположения фокуса собирающей линзы при помощи солнечных лучей.   Понятие фокусного расстояния    Фокусное расстояние для собирающей линзы — это расстояние от плоскости линзы, на котором параллельные лучи собираются в одну точку. Если предмет находится на бесконечно большом расстоянии от линзы, то исходящие от него лучи параллельны, поэтому изображение такого предмета будет лежать в плоскости, параллельной плоскости линзы и находящейся на фокусном расстоянии от нее.   Изображение солнца для собирающей линзы    Расстояние от земли до солнца приблизительно равно 150 миллионов километров, которое, по сравнению с размерами линзы, можно  рассмотреть как бесконечно большим, следовательно, лучи, исходящие от солнца можно считать параллельными.    Таким образом, для того чтобы…

  • AD.0008

    Из одинаковых на вид монет мудрец может найти единственную фальшивую, сделав всего 4 взвешивания на чашечных весах без гирь. Какое наибольшее число монет может быть у мудреца, если известно, что фальшивая монета более легкая?   Наибольшее число монет для одного взвешивания    Для начала исследуем — из скольких монет мудрец может найти единственную фальшивую монету одним взвешиванием?    Если у мудреца всего три монеты, то положив на каждую чашу весов по одной монете, он сможет определить фальшивую монету: если одна чаша весов легче другой, то на этой чаше и будет фальшивая монета; если же весы находятся в равновесии, то фальшивой будет третья монета.   Очевидно, что если у мудреца четыре монеты,…

  • AD.0007

    Решите уравнения:       1) cos(x — 30°) — cos(x + 30°) = 0;       2) tg(2x — 30°) = tg(x + 60°).    Решение.    1) Воспользуемся формулами:       cos(x + y) = cosx * cosy — sinx * siny;       cos(x — y) = cosx * cosy + sinx * siny;       cos(x — 30°) — cos(x + 30°) = 0;       cosx * cos30° + sinx * sin30° — cosx * cos30° + sinx * sin30° = 0;       2 * sinx * sin30° = 0;       sinx = 0;       x = πk, k ∈ Z;    2)…