• AD.0011

       Решите неравенство:       (y — 4)² * (y — 6) * (1 — y) > 0.    1. Определим корни соответствующего уравнения:       [y — 4 = 0       [y — 6 = 0       [1 — y = 0       [y = 4       [y = 6       [y = 1       y = ∈ {1; 4; 6}.    2. Поскольку неравенство строгое, то корни уравнения не являются корнями неравенства. Разделим множество действительных чисел (кроме найденных корней), на промежутки:       (-∞; 1) U (1; 4) U (4; 6) U (6; ∞).    В точке y = 4 степень четная,…

  • AD.0010

    В трёхзначном числе зачеркнули первую цифру и получили двузначное. Если на это двузначное число поделить исходное, то частное будет равно 9, а остаток 8. Найди исходное число. 1. Обозначим исходное трехзначное число через x: x = abc, где a, b и c — цифры числа x: x = 100a + 10b + c. 2. Зачеркнув первую цифру, получим двузначное число y: y = bc = 10b + c. 3. Составим и решим уравнение согласно условию задачи: x = 9 * y + 8; 100a + 10b + c = 9 * (10b + c) + 8; 100a + 10b + c = 90b + 9c + 8; 100a = 80b…

  • AD.0009

    Предложите способ определения расположения фокуса собирающей линзы при помощи солнечных лучей.   Понятие фокусного расстояния    Фокусное расстояние для собирающей линзы — это расстояние от плоскости линзы, на котором параллельные лучи собираются в одну точку. Если предмет находится на бесконечно большом расстоянии от линзы, то исходящие от него лучи параллельны, поэтому изображение такого предмета будет лежать в плоскости, параллельной плоскости линзы и находящейся на фокусном расстоянии от нее.   Изображение солнца для собирающей линзы    Расстояние от земли до солнца приблизительно равно 150 миллионов километров, которое, по сравнению с размерами линзы, можно  рассмотреть как бесконечно большим, следовательно, лучи, исходящие от солнца можно считать параллельными.    Таким образом, для того чтобы…

  • AD.0008

    Из одинаковых на вид монет мудрец может найти единственную фальшивую, сделав всего 4 взвешивания на чашечных весах без гирь. Какое наибольшее число монет может быть у мудреца, если известно, что фальшивая монета более легкая?   Наибольшее число монет для одного взвешивания    Для начала исследуем — из скольких монет мудрец может найти единственную фальшивую монету одним взвешиванием?    Если у мудреца всего три монеты, то положив на каждую чашу весов по одной монете, он сможет определить фальшивую монету: если одна чаша весов легче другой, то на этой чаше и будет фальшивая монета; если же весы находятся в равновесии, то фальшивой будет третья монета.   Очевидно, что если у мудреца четыре монеты,…

  • AD.0007

    Решите уравнения:       1) cos(x — 30°) — cos(x + 30°) = 0;       2) tg(2x — 30°) = tg(x + 60°).    Решение.    1) Воспользуемся формулами:       cos(x + y) = cosx * cosy — sinx * siny;       cos(x — y) = cosx * cosy + sinx * siny;       cos(x — 30°) — cos(x + 30°) = 0;       cosx * cos30° + sinx * sin30° — cosx * cos30° + sinx * sin30° = 0;       2 * sinx * sin30° = 0;       sinx = 0;       x = πk, k ∈ Z;    2)…

  • AD.0006

    Решите уравнения: 1) cos(2x) = 0,1; 2) 2cos²x = 1; 3) sin(4x) = — 1.    Решение.    1) cos(2x) = 0;       2x = π/2 ± πk;       x = π/4 ± πk/2, k ∈ Z.    2) 2cos²x = 1;       cos²x = 1/2;       cosx = ± √2/2;       x = π/4 ± 2πk; 3π/4 ± 2πk, k ∈ Z.    3) sin(4x) = — 1;       4x = — π/2 ± 2πk;       4x = — π/8 ± πk/2, k ∈ Z.    Ответ: 1) π/4 ± πk/2; 2) π/4 ± 2πk; 3π/4 ± 2πk; 3) — π/8 ± πk/2, k ∈…

  • AD.0005

    Вычислить: cos(-210°).    1. Функция cosx периодична с периодом 360°, поэтому:       cos(-210°) = cos(-210° + 360°) = cos(150°);    2. Воспользуемся формулой для преобразования выражения:       cos(180° — x) = — cosx;       cos(150°) = cos(180° — 30°) = — cos(30°) = — √3/2.    Ответ: — √3/2.

  • AD.0004

    Упростите выражение:       (4b² + 2a² — 4ab) * (3ab + 2a² — 3b³).    Раскроем скобки, умножив трехчлены:       Z = (4b² + 2a² — 4ab) * (3ab + 2a² — 3b³);       Z = 4b² * (3ab + 2a² — 3b³) + 2a² * (3ab + 2a² — 3b³) — 4ab * (3ab + 2a² — 3b³);       Z = (4b² * 3ab + 4b² * 2a² — 4b² * 3b³) + (2a² * 3ab + 2a² *2a² — 2a² * 3b³) — (4ab * 3ab + 4ab * 2a² — 4ab * 3b³);       Z = 12ab³ + 8a²b² — 12b5 +…

  • AD.0003

    Докажите тождество:       (a + b)(a² — ab + b²) = a³ + b³.    Обозначим левую часть тождества Z, преобразуем ее и получим правую часть. Для умножения двучлена на трехчлен следует каждый член двучлена умножить на каждый член трехчлена.    Таким образом, после умножения получим шесть членов, и приведя подобные члены, получим правую часть тождества:       Z = (a + b)(a² — ab + b²);       Z = (a * a² — a * ab + a * b²) + (b * a² — b * ab + b * b²);       Z = a³ — a²b + ab² + a²b — ab² + b³.…

  • AD.0002

    Дедушка с бабушкой отправились в лес за грибами, взяли с собой внука Артёма и внучку Настю. Все вместе они собрали 89 грибов. При этом бабушка вместе с Настей собрали не меньше, чем 45 грибов, а больше всех грибов собрал дедушка. Какое наибольшее число грибов мог собрать Артём? Решение задачи с помощью логических рассуждений    Поскольку бабушка вместе с Настей собрали не меньше, чем 45 грибов, то одна из них собрала не меньше, чем 23 гриба. Но с другой стороны, больше всех грибов собрал дедушка, поэтому он собрал больше, чем каждая из них, т.е. больше, чем 23 гриба.    Все вместе собрали 89 грибов, а бабушка вместе с Настей собрали хотя бы…